Πρόλογος
Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγική προσέγγιση στη θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Στις μέρες μας οι μερικές διαφορικές εξισώσεις αποτελούν μια από τις σημαντικότερες περιοχές τόσο των θεωρητικών όσον και των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Το γεγονός αυτό οφείλεται, αφενός στη συχνότατη χρήση των μερικών διαφορικών εξισώσεων στις φυσικές, τεχνολογικές, οικονομικές και λοιπές εφαρμοσμένες επιστήμες, αφετέρου δε στην πληθώρα των νέων προβλημάτων, ερωτημάτων και θεωριών, που δημιουργούνται και αναπτύσσονται στην περιοχή των θεωρητικών μαθηματικών από την ερευνητική ενασχόληση για την επίλυση και γενικότερη μελέτη αυτών των εξισώσεων.
Βασικό σκοπό της συγγραφής αυτής της εργασίας αποτέλεσε η παροχή στους σπουδαστές των μαθηματικών, φυσικών και τεχνολογικών επιστημών αλλά και γενικότερα στην κοινότητα των μαθηματικών και εφαρμοσμένων επιστημόνων, ενός συγγράμματος, το οποίο θα δίδει τις θεμελιώδεις έννοιες και αξιώματα καθώς και μια τεράστια ποικιλία μεθόδων και τεχνικών επίλυσης μιας μεγάλης οικογένειας μερικών διαφορικών εξισώσεων - μαθηματικών προτύπων φυσικών, τεχνολογικών, κοινωνικών και λοιπών φαινομένων.
Στο Κεφάλαιο 1, δίδονται οι βασικές έννοιες και ορισμοί των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Σκιαγραφείται η έννοια ενός καλά τοποθετημένου προβλήματος αρχικών και/ή συνοριακών συνθηκών καθώς και η ευστάθεια (συνεχής εξάρτηση από τα δεδομένα) των λύσεων. Γίνεται η ταξινόμηση των μερικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης στις δύο και περισσότερες διαστάσεις. Αναπτύσσεται μια μέθοδος επίλυσης μερικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές και ως εφαρμογή αυτής παρουσιάζεται η εύρεση της λύσης D'Alembert της Κυματικής Εξίσωσης στην πραγματική ευθεία.
Στο Κεφάλαιο 2, μετά από μια σύντομη ιστορική ανασκόπηση, γίνεται η μελέτη της γραμμικής ομογενούς ή μη ελλειπτικής εξίσωσης σε συγκεκριμένα φραγμένα πεδία στις δύο διαστάσεις (ορθογώνιο, δίσκος, δακτύλιος, κ.λ.π.) με διάφορα είδη συνοριακών συνθηκών (Dirichlet, Neumann, Robin ή μεικτές). Η βασική τεχνική επίλυσης σε όλο το Κεφάλαιο είναι η μέθοδος χωρισμού των μεταβλητών ή μέθοδος Fourier. Τέλος, δίδονται οι κυριότερες ιδιότητες των λύσεων των ελλειπτικών προβλημάτων (αρμονικές συναρτήσεις), όπως μονοσήμαντο, αρχή μεγίστου, συνεχής εξάρτηση από συνοριακά δεδομένα, κ.λ.π..
Στο Κεφάλαιο 3, γίνεται αναλυτική παρουσίαση της διαδικασίας μαθηματικής προτυποποίησης σ' ένα φαινόμενο διάδοσης θερμότητας σε μια πεπερασμένη ράβδο και διαμόρφωση της αντίστοιχης εξίσωσης θερμότητας. Στη συνέχεια δίδονται διάφοροι μέθοδοι επίλυσης ομογενών ή μη προβλημάτων παραβολικού τύπου με ομογενείς ή μη, χρόνο-ανεξάρτητες ή μη συνοριακές συνθήκες. Και σ' αυτό το Κεφάλαιο η βασική τεχνική επίλυσης είναι η μέθοδος χωρισμού των μεταβλητών. Επίσης παρουσιάζεται η ποιοτική επεξεργασία των λύσεων αυτών των προβλημάτων και αναδεικνύονται τα βασικά χαρακτηριστικά αυτών, όπως ομαλότητα, ασυμπτωτική συμπεριφορά, μονοσήμαντο, χρόνος χαλάρωσης, κ.λ.π.. Τέλος, δίδονται βασικά εισαγωγικά στοιχεία της ποιοτικής θεωρίας των παραβολικών εξισώσεων, όπως αρχή μεγίστου, μονοσήμαντο των λύσεων και συνεχής εξάρτηση από τα αρχικά και συνοριακά δεδομένα.
Στο Κεφάλαιο 4, μετά από μια σύντομη ιστορική ανασκόπηση, γίνεται αναλυτική παρουσίαση της διαδικασίας μαθηματικής προτυποποίησης σ' ένα φαινόμενο κυματικής διάδοσης σε μια τέλεια εύκαμπτη πεπερασμένη χορδή και διαμόρφωση των αντίστοιχων βασικών γραμμικών και μη κυματικών εξισώσεων. Στη συνέχεια δίδονται διάφοροι μέθοδοι επίλυσης ομογενών ή μη προβλημάτων υπερβολικού τύπου με ομογενείς ή μη, χρόνο-ανεξάρτητες ή μη συνοριακές συνθήκες. Και σ' αυτό το Κεφάλαιο η βασική τεχνική επίλυσης είναι η μέθοδος χωρισμού των μεταβλητών. Επίσης παρουσιάζεται η ποιοτική επεξεργασία των λύσεων αυτών των προβλημάτων και αναδεικνύονται τα βασικά χαρακτηριστικά αυτών, όπως ομαλότητα, μονοσήμαντο, φυσική σημασία, κ.λ.π.. Στο δεύτερο μέρος του Κεφαλαίου 4 παρουσιάζονται μερικές από τις πλέον χαρακτηριστικές εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής (Εξίσωση Klein - Gordon, Εξίσωση Τηλεγράφου-Τηλεφώνου, Εξίσωση της Δοκού), δίδονται μέθοδοι επίλυσης και σχολιάζονται τα βασικά χαρακτηριστικά αυτών συνδεόμενα με τα φυσικά φαινόμενα, των οποίων αποτελούν το μαθηματικό πρότυπο.
Στο Κεφάλαιο 5, μελετώνται τα προβλήματα των τριών προηγουμένων Κεφαλαίων 2 - 4 (Ελλειπτικά, Παραβολικά, Υπερβολικά) σε περισσότερες χωρικές διαστάσεις (δύο και τρεις). Φαινόμενα μετάδοσης θερμότητας ή ταλαντώσεων, που λαμβάνουν χώρα σε λεπτές πλάκες ή μεμβράνες, σε κυλίνδρους, ορθογώνια παραλληλόγραμμα ή σφαίρες, μπορούν να περιγραφούν από μερικές διαφορικές εξισώσεις, που ορίζονται στις δύο ή τρεις διαστάσεις ανάλογα με τους περιορισμούς. Εδώ για τη μελέτη των μη ομογενών προβλημάτων εκτός της βασικής μεθόδου χωρισμού των μεταβλητών, που έχει χρησιμοποιηθεί μέχρι τώρα στα φραγμένα πεδία, παρουσιάζεται η τεχνική του πεπερασμένου μετασχηματισμού Fourier και εφαρμόζεται σε χαρακτηριστικές περιπτώσεις. Όπως θα φανεί στη συνέχεια οι τεχνικές, που χρησιμοποιούνται για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων σε περισσότερες διαστάσεις, αποτελούν φυσιολογική γενίκευση ή επέκταση των ήδη γνωστών μεθόδων, που αναπτύχθηκαν για μερικές διαφορικές εξισώσεις σε μια διάσταση. Εντούτοις πρέπει να τονισθεί ότι, οι διαδικασίες, που ακολουθούν είναι πολύπλοκες και συχνά οδηγούν σε προβλήματα Sturm-Liouville, των οποίων οι λύσεις είναι ειδικές συναρτήσεις. Ειδικότερα, προβλήματα ορισμένα σε κυκλικά ή κυλινδρικά πεδία οδηγούν σε λύσεις, που περιέχουν συναρτήσεις Bessel. Ενώ προβλήματα ορισμένα σε σφαιρικά πεδία οδηγούν σε λύσεις, που περικλείουν πολυώνυμα Legendre.
Στα προηγούμενα Κεφάλαια 2 - 5 αναπτύχθηκαν τεχνικές για τη μελέτη των τριών βασικών κατηγοριών μερικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης (και ανώτερης άρτιας) τάξης, όταν αυτά είναι ορισμένα σε φραγμένο πεδίο. 'Όμως σε πολλά φυσικά, βιολογικά, κοινωνικά, κ.λ.π., φαινόμενα παρουσιάζεται η ανάγκη το αντίστοιχο μαθηματικό πρόβλημα να εξετασθεί σε ένα μη-φραγμένο πεδίο. Στο Κεφάλαιο 6, θα μελετηθούν οι τρεις βασικές κατηγορίες μερικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης σε μη φραγμένο πεδίο (κυρίως στη μια χωρική διάσταση). Η μελέτη τέτοιων προβλημάτων θα βασισθεί σε δύο κατηγορίες τεχνικών. Η πρώτη μέθοδος βασίζεται στο χωρισμό μεταβλητών σε άπειρο πεδίο, ο οποίος οδηγεί στην ολοκληρωτική αναπαράσταση της λύσης ονομαζόμενη ολοκλήρωμα Fourier. Η δε δεύτερη κατηγορία τεχνικών είναι αυτή των ολοκληρωτικών μετασχηματισμών. Συγκεκριμένα, εδώ θα ασχοληθούμε με τους μετασχηματισμούς Laplace, Fourier, Hankel καθώς και με κάποιες παραλλαγές αυτών.
Στο Κεφάλαιο 7, θα δοθούν οι γενικές αρχές και μερικά παραδείγματα μιας αναλυτικής μεθόδου επίλυσης προβλημάτων συνοριακών ή αρχικών συνθηκών συνήθων διαφορικών εξισώσεων, η οποία βασίζεται στον καθορισμό μιας ειδικής συνάρτησης. Η συνάρτηση αυτή φέρει το όνομα του George Green, του ανθρώπου που πρώτος την εισήγαγε από τις αρχές του προπερασμένου αιώνα (1828). Η σπουδαιότητα της μεθόδου, εκτός των άλλων, έγκειται πρώτον στο γεγονός ότι, η διαφορική (συνήθης ή μερική) εξίσωση μετασχηματίζεται σε ολοκληρωτική, η επίλυση της οποίας είναι ευκολότερη και δεύτερον, η παράσταση της λύσης φανερώνει τον τρόπο εξάρτησής της, τόσο από τις περιοριστικές συνθήκες (αρχικές και / ή συνοριακές), που συνοδεύουν το πρόβλημα, όσον και από την εξωτερική επίδραση (μη-ομογενής όρος).
Τέλος, στο Κεφάλαιο 8, ορίζεται η συνάρτηση Green για προβλήματα συνοριακών συνθηκών ή αρχικών και συνοριακών συνθηκών μερικών διαφορικών εξισώσεων και μελετώνται οι ιδιότητες αυτών. Στη συνέχεια γίνεται χρήση της συνάρτησης Green για την επίλυση χαρακτηριστικών περιπτώσεων των τριών βασικών κατηγοριών μερικών διαφορικών εξισώσεων 2ης τάξης κυρίως στη μια χωρική (αλλά και στις δύο και τρεις) διάσταση, όπου εμφανίζεται η σύνδεση της λύσης με τα δεδομένα (αρχικά και / ή συνοριακά) καθώς και με τους τυχόν μη ομογενείς όρους.
Το βιβλίο περιέχει περίπου 170 αναλυτικά λυμένα Παραδείγματα}, 60 παραστατικά Σχήματα} και πάνω από 450 Προβλήματα, αρκετά από τα οποία συνοδεύονται από τις απαντήσεις τους και / ή υποδείξεις επίλυσης. Όπου κρίνεται αναγκαίο γίνεται σύνδεση των μαθηματικών αποτελεσμάτων με το αντίστοιχο φυσικό ή άλλο φαινόμενο. Επίσης στις βασικές εξισώσεις γίνεται μια αναλυτική παρουσίαση της διαδικασίας Μαθηματικής προτυποποίησης, σε μια προσπάθεια κατανόησης της σύνδεσης των μεταβλητών και παραμέτρων του προβλήματος με τα επιμέρους στοιχεία του αντίστοιχου φαινομένου.
Προαπαιτούμενες γνώσεις: για τον μελετητή αυτού του βιβλίου θεωρούνται τα θέματα, που αναπτύσσονται στα προπτυχιακά μαθήματα Λογισμού Μιας και Πολλών Μεταβλητών, Διανυσματικής Ανάλυσης, Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων, Σειρών και Μετασχηματισμών Fourier και Συνοριακών Προβλημάτων}.
Ευχαριστίες: Το βιβλίο αυτό αναπτύχθηκε από τις σημειώσεις των μαθημάτων Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, που έχω διδάξει τα τελευταία 20 χρόνια σε διάφορες Σχολές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου. Γι' αυτό θέλω να απευθύνω τις πρώτες ευχαριστίες μου στους πολυάριθμούς σπουδαστές, που με πολύ υπομονή, κατανόηση, εύστοχες υποδείξεις, επιστημονικές ανησυχίες και νεανικό αυθορμητισμό, συνέβαλαν καθοριστικά στην παρούσα διαμόρφωση του ανά χείρας κειμένου. Στη συνέχεια θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους εκείνους τους συναδέλφους από τον Τομέα Μαθηματικών της Σχολής εφαρμοσμένων Μαθηματικών \& Φυσικών Επιστημών, καθώς και άλλες Σχολές του ΕΜΠ, που έτυχε κατά καιρούς άμεσα ή έμμεσα να συζητήσουμε θέματα σχετιζόμενα με το υλικό του ανά χείρας βιβλίου.
Τέλος, προς όλους αυτούς που θα επιθυμούσαν να συμβάλλουν σε μια πληρέστερη και αρτιότερη εμφάνιση μιας μελλοντικής έκδοσης αυτού του συγγράμματος, αφού τους ευχαριστήσω προκαταβολικά, θα ήθελα να τους γνωρίσω ότι, μπορούν να στείλουν την όποια συμβολή τους στην ηλεκτρονική μου διεύθυνση.
